複素数\(\alpha,\beta\)が\(\alpha\beta \neq 0\)を満たすとする。 \(\alpha\)の共役複素数を\(\bar{\alpha}\)とする。 \(\bar{\alpha}\beta\)が実数であるとき、\(\beta\)は\(\alpha\)の実数倍であるといえるか。
（神戸大学入試問題より、一部改変）
［\(\alpha\)は複素数ですから］\(a,b\)を実数として\(\alpha = a + bi\)と書けます［\(i\)は虚数単位です］。
すると、［共役複素数の定義から］\(\bar{\alpha} = a - bi\)となります。
［\(\beta\)が\(\alpha\)の何倍になるかを調べましょう。 そのために、\(\dfrac{\beta}{\alpha}\)を計算するのですが、\(0\)割りが気になります］
\(\alpha\beta \neq 0\)から\(\alpha \neq 0\)がいえますから、 \(\dfrac{\beta}{\alpha}\)は［複素数を非\(0\)の複素数で割るので］数になります［ので値を計算する意味があります］。
［問題文で与えられている\(\bar{\alpha}\beta\)を使うために］ \(\dfrac{\beta}{\alpha}\)の分子と分母に\(\bar{\alpha}\)を掛けると、 \[ \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\bar{\alpha}\beta}{\bar{\alpha}\alpha} \] となります。
［分母の］\(\bar{\alpha}\alpha\)を計算すると、 \[ \bar{\alpha}\alpha = (a - bi)(a + bi) = a^2+b^2 \] となります。
したがって、 \[ \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\bar{\alpha}\beta}{a^2+b^2} \] が成り立ちます。
ところで、問題で与えられている条件から［分子の］\(\bar{\alpha}\beta\)は実数になりますので、 \(\dfrac{\bar{\alpha}\beta}{a^2+b^2}\)も［実数割る実数で］実数になります。この実数を\(r\)と置くと、 \[ \dfrac{\beta}{\alpha} = r \] となります。つまり、 \[ \beta = r\alpha \] ですから、\(\beta\)は\(\alpha\)の実数倍であるといえます。