100分の1の確率でアタリが出るくじを100回引いたとき、100回すべてがハズレになる確率を求めよ。

問題

• $100$分の$1$の確率でアタリが出るくじを$100$回引いたとき、$100$回すべてがハズレになる確率を求めよ。

解答

$1$回目で、ハズレになる確率は、 $$0.99$$ である。

$1$回目でハズレになり、さらに$2$回目でもハズレになる確率は、 $$0.99 \times 0.99 = 0.99^2 = 0.9801$$ である（前提：毎回の試行の独立性）。

$1$回目から$100$回目までずっとハズレ続ける確率は、 $$\underbrace{0.99 \times 0.99 \times \cdots \times 0.99}_{\text{$100$個の積}} = 0.99^{100} = 0.3660\cdots$$ である。

補足

ところで「$100$分の$1$の確率でアタリが出るくじを$100$回引いたんだから、 $1$回くらいは出そうなものだ」という感覚は何だろうか。

《このくじを$100$回引く》ということをたくさん繰り返したとき「アタリが出る回数」の平均値は$1$になる。 つまり「アタリが出る回数」の期待値は$1$である（二項分布の期待値）。これと混同しているのかもしれない。

参照

• 出現確率1％のガチャを100回引いても，4割近くの人は全部はずれる。“本当の確率”を読み解いてみよう
• あるコインを2500回投げたとき、表が1300回出た。このコインは偏っているか？

メモ

poolがくじの箱。'!'がアタリ、'.'がハズレ。resultが$100$回くじを引いた結果。

import pandas as pd
import numpy.random as np
import matplotlib.pyplot as plt

trials = 100
np.seed(314)
pool = ['!'] + ['.'] * 99
result = [pool[np.randint(low=0,high=len(pool))] for i in range(trials)]
print(result)