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 2015-07-11   math 

あるコインを2500回投げたとき、表が1300回出た。このコインは偏っているか?

問い

あるコインを2500回投げたとき、表が1300回出た。このコインは偏っているか?

考える

あるコインを2500回投げたとき、表が1300回出た。このコインは偏っているか?

「偏りのないコインをn回投げる」という試行を行ったとき、表が出る回数を表す確率変数をXとする。すると、X=kとなる確率は、 Pr[X=k]=(nk)12n となる。

Xの確率分布は平均μ=n2で分散σ2=n4の二項分布になる。

(一般に、確率がpである二項分布の平均はnpで分散はnp(1p)である。)

分散σ2=n4だから、標準偏差σ=n2である。

2σ=n

十分にnが大きいとき、表が出る回数が平均μ=n2から2σ以内のずれに収まる確率は約95%である。 Pr[|n2X|2σ]=0.95

たとえば、n=2500であるとしよう。

「偏りのないコインを2500回投げる」という試行を行ったとき、n=2500,μ=n2=1250,2σ=n=2500=50となる。

すなわち、偏りのないコインを2500回投げたとき、表が出る回数X125050X1250+50になる確率は約95%である。

あるコインを2500回投げたとき、表が1300回出たとしよう。もしもそのコインが偏りのないコインだとしても、表が1200回から1300回の間に入る確率は約95%である。

参照

以上の文章は、黒木先生のツイートを読んで、結城が自分の理解のために書いたものです。誤りがありましたらお知らせください。

 2015-07-11   math