1nの確率で当たるクジをn回引いたとする(n=1,2,3,…)。 そのとき、一度も当たらない確率P(n)は、 P(n)=(1−1n)n で求められる。
ところで、 (1−1n)n=1(1+1n−1)n であるから、自然対数の底をeとして、 limn→∞P(n)=1e となる。
ではここで問題です。自然対数の底eは、 e=limn→∞(1+1n)n で定義されています。ところが上の式では、 e=limn→∞(1+1n−1)n を使っています。 limn→∞(1+1n)n=limn→∞(1+1n−1)n は、ほんとうに成り立つのでしょうか。成り立つならば、それはなぜ?