1/nの確率で当たるクジをn回引いたときに一度も当たらない確率の極限は1/e

$\frac{1}{n}$の確率で当たるクジを$n$回引いたとする（$n = 1,2,3,\ldots$）。 そのとき、一度も当たらない確率$P(n)$は、 $$P(n) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$$ で求められる。

ところで、 $$\left(1 - \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^n}$$ であるから、自然対数の底を$e$として、 $$\lim_{n \to \infty} P(n) = \frac{1}{e}$$ となる。

ではここで問題です。自然対数の底$e$は、 $$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$ で定義されています。ところが上の式では、 $$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n - 1}\right)^n$$ を使っています。 $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n - 1}\right)^n$$ は、ほんとうに成り立つのでしょうか。成り立つならば、それはなぜ？