\(\forall \epsilon > 0 [ |x| < \epsilon ] \Leftrightarrow x=0\)
以下のメモは、2011年にWeb日記に書いたものをもとにしている。
https://www.hyuki.com/d/201104.html#i20110407080000
\(x\)についての二つの条件「任意の正の実数\(\epsilon\)に対して、実数\(x\)の絶対値は\(\epsilon\)より小さい」と「実数\(x\)は\(0\)に等しい」とが同値であることを証明せよ。
「\(\forall \epsilon > 0 [ |x| < \epsilon ] \Leftrightarrow x=0\)を証明せよ」という意味です。
まず、\(\forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Leftarrow x=0\)は明らかである。
次に、\(\forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Rightarrow x=0\)を証明する。この命題の対偶、すなわち \[ x\neq0 \Rightarrow \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] \] を証明する。\(x\neq0\)のとき、たとえば\(\epsilon=|x|/2\)と置く。すると、\(\epsilon>0\)であり、しかも\(|x|\geq|x|/2=\epsilon\)だから、\(|x|\geq\epsilon\)が成り立つ。よって、 \[ x\neq0 \Rightarrow \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] \] が証明された。
したがって、 \[ \forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Leftrightarrow x=0 \] は証明された。
ここでは何気なく書いているけれど、 \[ \forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Rightarrow x=0 \] の対偶が、 \[ x\neq0 \Rightarrow \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] \] になるというのは正しいけれど、疑問に思う人がいるかもしれない。特に、 \[ \forall\epsilon>0[|x|<\epsilon] \] の否定が、 \[ \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] \] になるところ。以下のような変形をしています。
\[ \begin{align*} \lnot(\forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]) & \Leftrightarrow \lnot(\forall \epsilon[\epsilon>0 \Rightarrow |x|<\epsilon]) \\ & \Leftrightarrow \lnot(\forall \epsilon[\lnot(\epsilon>0) \lor |x|<\epsilon]) \\ & \Leftrightarrow \lnot(\forall \epsilon[\epsilon \leq 0 \lor |x|<\epsilon]) \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon[\lnot(\epsilon \leq 0 \lor |x|<\epsilon)] \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon[\lnot(\epsilon \leq 0) \land \lnot(|x|<\epsilon)] \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon[\epsilon > 0 \land |x| \geq \epsilon] \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon > 0 [|x| \geq \epsilon] \\ \end{align*} \]
引っかかりそうな箇所は、以下の二行の違い。 \[ \begin{align*} \forall\epsilon >0 [ \cdots ] &\Leftrightarrow \forall\epsilon [ \epsilon > 0 \Rightarrow \cdots ] \\ \exists\epsilon >0 [ \cdots ] &\Leftrightarrow \exists\epsilon [ \epsilon > 0 \land \cdots ] \\ \end{align*} \]