ハウスドルフ空間\(H\)の部分集合\(S\)がコンパクトであるならば、\(S\)は閉集合である。
\(S\)が閉集合であることは、\(T=H-S\)が開集合であることを示せばよい。 \(T\)が開集合であることは、\(T\)の任意の一点\(t\)が\(T\)に含まれる開近傍を持つことを示せばよい。 以降では\(t \in T\)を固定して考える。\(S\)の任意の点\(s\)をとったとき、\(s \neq t\)であり、\(H\)がハウスドルフ空間であることから、\(s\)ごとに、 \[ s \in U_s,\, t \in V_s,\, U_s \cap V_s = \phi \]という開集合\(U_s, V_s\)を取ることができる。 \(s\)を\(S\)全体で動かしたときの\(\displaystyle\bigcup_{s \in S} U_s\)は\(S\)の開被覆になるが、\(S\)がコンパクトであることから、有限個の\(U_s\)を選んで\(S\)の開被覆を作ることができる。すなわち、有限個の\(U_s\)を適切に選んで\(U'_1,\ldots,U'_n\)と名前を付け直し、 \[ U = \bigcup_{k = 1}^{n}U'_k \] が\(S\)を含むようにできる。また、\(U_s\)を\(U'_k\)に名前を変えるのに合わせて、\(V_s\)を\(V'_k\)に名前を変えて、 \[ V = \bigcap_{k = 1}^{n}V'_k \] とする。有限個の開集合の共通部分なので、\(V\)は開集合である。 ここで、 \[ V \cap U'_k = \phi \]に注意する。 このとき、 \[ \begin{align*} V \cap U &= V \cap \left(\bigcup_{k=1}^n U'_k \right) \\ &= \bigcup_{k=1}^n \left(V \cap U'_k \right) \\ &= \phi \end{align*} \]となる。 すなわち、\(V \cap U = \phi\)であり、 \[ t \in V \subset H - S = T \]がいえる。 これは\(V\)が\(T\)に含まれる\(t\)の開近傍であることを示す。 以上で、\(T = H-S\)が開集合であることが示されたので、\(S\)が閉集合であることが証明された。 （証明終わり）
※松坂和夫『集合・位相入門』を参考にしています。