像の引き戻し

$f^{-1}(f(A)) \supset A$

命題

$f$を集合$X$から集合$Y$への写像とする。 $A$を集合$X$の部分集合とする。 このとき、 $$f^{-1}(f(A)) \supset A$$ が成り立つ。

証明

定義から、 $$f^{-1}(f(A))　= \bigl\{ x \in X \bigm| \exists b \in f(A), b = f(x) \bigr\}$$ である。 $A$の任意の元$a$に対して、$f(a) \in f(A)$であるから、 $$a \in f^{-1}(f(A))$$ である。 したがって、 $$f^{-1}(f(A)) \supset A$$ がいえる。（証明終わり）

注意

$f^{-1}(f(A)) = A$が成り立つとは限らない。たとえば、$a' \in X - A$となる元$a'$が$a' \in f(A)$を満たすとき、$a' \not\in A$だが、$a' \in f^{-1}(f(A))$となるからである。