命題
群\(G\)において、単位元以外の任意の元の位数が\(2\)に等しいならば、 \(G\)はアーベル群である。
（メモ）群\(G\)の元\(g\)の位数が\(2\)に等しいとは、\(gg = e\)を意味する（\(e\)は単位元）。群\(G\)がアーベル群であるとは、群\(G\)が可換であることを意味する。すなわち、群\(G\)の任意の\(2\)元\(a,b\)について\(ab = ba\)であることを意味する。
証明
\(a,b\)を\(G\)の元とする。仮定より、 \[ (ab)(ab)=e,\quad aa=e,\quad bb=e \] がいえる。すなわち、 \[ ab = (ab)^{-1},\quad a=a^{-1},\quad b=b^{-1} \] が成り立つ。また一般に、 \[ (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \] が成り立つ。よって、 \[ ab = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba \] すなわち\(ab = ba\)が成り立ち、群\(G\)はアーベル群である。
（証明終わり）