n次の正方行列A,Bに対して、関係A∼Bを以下のように定義するとき、この関係∼が同値関係であることを証明する。 A∼B⟺P−1AP=Bを満たす正則行列Pが存在する
(反射律)Pとして単位行列を取ればP−1AP=Aが成り立つから、A∼Aである。
(対称律)A∼Bのとき、P−1AP=BなるPが存在し、Q=P−1と置けばQ−1BQ=Aである。したがって、A∼BならばB∼Aである。
(推移律)A∼BかつB∼Cであると仮定する。このとき、A∼BからP−1AP=Bなる正則行列Pが存在し、B∼CからQ−1BQ=Cなる正則行列Qが存在する。よって、Q−1BQ=Q−1P−1APQ=Cである。ここでR=PQと置けば、R−1AR=Cが成り立ち、A∼Cであることがいえる。
以上より、関係∼が同値関係であることが証明できた。
※単位行列、逆行列、行列の積に対応しているのが興味深い。