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 2015-04-01   math 

行列の共役が作り出す関係が同値関係であることの証明

n次の正方行列A,Bに対して、関係ABを以下のように定義するとき、この関係が同値関係であることを証明する。 ABP1AP=Bを満たす正則行列Pが存在する

(反射律)Pとして単位行列を取ればP1AP=Aが成り立つから、AAである。

(対称律)ABのとき、P1AP=BなるPが存在し、Q=P1と置けばQ1BQ=Aである。したがって、ABならばBAである。

(推移律)ABかつBCであると仮定する。このとき、ABからP1AP=Bなる正則行列Pが存在し、BCからQ1BQ=Cなる正則行列Qが存在する。よって、Q1BQ=Q1P1APQ=Cである。ここでR=PQと置けば、R1AR=Cが成り立ち、ACであることがいえる。

以上より、関係が同値関係であることが証明できた。

※単位行列、逆行列、行列の積に対応しているのが興味深い。

 2015-04-01   math