テトラ「楕円？」
僕「そう。このあいだ、いとこのユーリに話したこと。原点中心の単位円を左右に\(a\)倍して、上下に\(b\)倍すると、\(\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1\)という楕円ができるって」
テトラ「はい」
僕「楕円だったら、ちょうど\(x = a\cos\theta\)と\(y = b\sin\theta\)と置けば、パラメータ表示ができるんだ。ぐるっと描ける。コンパスとは違うけど」
テトラ「いえ、あの、コンパスにこだわっているわけじゃないんですが」
僕「こういうのはどうかな。《\(x^2 + y^2 = 1\)という円の方程式》と《\(\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} = 1\)という正方形の方程式》が似ているって話から始まったよね」
テトラ「はい、そうですね」
僕「似ているんだから《どれだけ違うか》を比較してみたらどうだろう。数式を使って」
テトラ「比較するんですか？」
僕「そう。実はね、テトラちゃんが作ってくれた\(\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} = 1\)という正方形の方程式を見たときにすぐ、両辺を二乗したくなったんだよ」
テトラ「どうしてですか」
僕「そうすると、円の方程式にすごく近づくからなんだ！」
\[ \begin{align*} \sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} &= 1 && \text{正方形の方程式} \\ \left(\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}\right)^2 &= 1^2 && \text{両辺を$2$~乗した} \\ x^2 + 2\sqrt{x^2}\sqrt{y^2} + y^2 &= 1 && \text{左辺を展開した} \\ x^2 + y^2 &= 1 - 2\sqrt{x^2}\sqrt{y^2} && \text{$\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}$を移項した} \\ \end{align*} \]
テトラ「ははあ……確かに似てますね」
僕「だよね」
\[ \begin{align*} \left|x\right| + \left|y\right| &= 1 && \text{正方形の方程式} \\ \left|r\cos\theta\right| + \left|r\sin\theta\right| &= 1 && \text{$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$を代入した} \\ r \left( \left|\cos\theta\right| + \left|\sin\theta\right| \right) &= 1 && \text{$r \geqq 0$としてくくり出した} \\ r &= \dfrac{1}{\left|\cos \theta\right| + \left|\sin\theta\right|} && \text{両辺を$\left|\cos\theta\right| + \left|\sin\theta\right|$で割った} \\ \end{align*} \]