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\documentclass{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\section*{問題}
線形写像~$f$に対し、
\[
\text{$f$~が単射である} \Leftrightarrow \ker(f)=\{0\}
\]
を証明せよ。

\section*{解答}

1.~$\Rightarrow$の対偶を示す。

$f$~が線型写像なら$\ker(f) \ni 0$なので、$\ker(f)$に属する$0$~以外の元の存在を仮定し、それを$a$とする。
このとき、$a \neq 0$かつ$f(a)=f(0)=0$なので$f$~は単射ではない。

\medskip

2.~$\Leftarrow$を背理法で示す。

$\ker(f)=\{0\}$かつ$f$は単射ではないと仮定する。
$f$~は単射でないので$a \neq b$かつ$f(a)=f(b)$という$a,b$が存在する。
$f$~は線型写像だから$f(a)-f(b)=f(a-b)$となり、$f(a)=f(b)$から$f(a-b)=0$~がいえる。
$f(a-b)=0$と$\ker(f)=\{0\}$から$a-b=0$がいえるが、これは$a \neq b$と矛盾する。

\medskip

以上1.と2.により、$\text{線型写像~$f$が単射である}\Leftrightarrow \ker(f)=\{0\}$が示された。\rule{5pt}{10pt}
\end{document}